Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Содержание

Делимость натуральных чисел
Простые и составные числа
Признаки делимости натуральных чисел
Разложение числа на простые множители
Основное свойство дроби
Сокращение дробей
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
Целые числа. Рациональные числа
Модуль числа
Сложение и вычитание дробей
Сложение и вычитание рациональных чисел

Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Делимость натуральных чисел

Если натуральное число $a$ делится нацело на натуральное чис¬ло $b$ , то число $a$ называют кратным числа $b$ , число $b$ — делителем числа $a$ .

a : b = ц е л о е ч и с л о 12 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1

12 -кратное числам 1, 2, 3, 4, 6, 12.

1, 2, 3, 4, 6, 12 – делители 12.

Для любого натурального числа $a$ каждое из чисел

$a \cdot 1,a \cdot 2,a \cdot 3, \ldots$

является кратным числа $a$ .

Число 6. Кратные 6 • 1, 6 • 2, 6 • 3, 6 • 4, … или по-другому запишем 6, 12, 18, 24, …

Наименьшим делителем любого натурального числа $a$ является число $1$ , а наибольшим — само число $a$ .

Число 6. Наименьший делитель: 1. Наибольший делитель: 6.

Среди чисел, кратных $a$ , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число $a$ .

Число 6. Наименьшее кратное: 6. Наибольшее кратное: нет.

Если каждое из чисел $a$ и $b$ делится нацело на число $k$ ,то и сумма $a+b$ также делится нацело на число $k$ .

a = 12, b = 6, k = 3

12 : 3 = 4 -целое, 6 : 3 = 2 – целое 12 и 6 делятся нацело на 3.

$a$ + $b$ = 12 + 6 =18 18 : 3 = 6-целое. 18 делится нацело на 3.

Если число $a$ делится нацело на число $k$ , а число $b$ не делится на¬цело на число $k$ , то сумма $a+b$ также не делится нацело на число $k$ .

a = 12, b = 7, k = 3

12 : 3 = 4 – целое, 7 : 3 = нецелое число. 7 не делится нацело на 3.

$a$ + $b$ = 12 + 7 =19 19 : 3 = нецелое число. 19 не делится нацело на 3.

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.

Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.

Числа 2, 3 , 5, 7 – простые. Каждое имеет 2 делителя: 1 и само число.

Числа 4, 6, 8 – составные. Делители 4: 1, 2, 4; 6: 1, 2, 3, 6; 8: 1, 2, 4, 8 – делителей больше 2-ух.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

Число 6. Представим в виде произведения простых чисел: 6 = 2 • 3.

Число 8. Представим в виде произведения простых чисел: 8 = 2 • 2 • 2.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

Числа 7 и 15. Наибольший общий делитель этих чисел одновременно – это 1. 7 и 15 – взаимно простые.

Признаки делимости натуральных чисел

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

100 делится на 10, так как оканчивается на 0.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

17 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.

Если 17 разделить на 10, то остаток 7.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.

Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Число 18 заканчивается на четную цифру 8, поэтому делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.

Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Число 19 заканчивается на нечетную цифру 9, поэтому не делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Числа 20 и 35 делятся на 5, так как оканчиваются на 0 или 5 соответственно.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.

Число 27 не оканчивается ни на 0, ни на 5, поэтому на 5 не делится.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Число 117. 1 + 1 +7 = 9; 9 : 9 = 1; 9 нацело делится на 9, поэтому 117 делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Число 110. 1 + 1 + 0 = 2; 2 нацело не делится на 9, поэтому 110 не делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Число 57. 5 + 7 = 12; 12 : 3 = 4. 12 нацело делится на 4, поэтому 57 делится на 3.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Число 56. 5 + 6 = 11; 11 нацело не делится на 3, поэтому 56 не делится на 3.

Разложение числа на простые множители

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

$\frac{a}{b} = \frac{a\cdot n}{b\cdot n}$

Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

$\frac{a: n}{b: n} =\frac{a}{b}$

Сокращение дробей

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.

Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.

несократимая дробь, так как числа 3 и 8 взаимно простые.

Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

Наибольший общий делитель

Найти наибольший общий делитель чисел 12 и 16.

Наименьшее общее кратное

Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 16.

Приведение дробей к наименьшему общем и у знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее до¬полнительный множитель.

Целые числа. Рациональные числа

Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.
Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.
Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.
Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа.

Модуль числа

Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание рациональных чисел

Сумма двух противоположных чисел равна нулю:

$-a+a=0$ или $a-a=0$

- 5 + 5 = 0; 5 - 5 = 0 .

Для любого рационального числа $а$ :

$a+0=0+a=0$

7 + 0 = 0 + 7 = 7 .

Чтобы найти разность двух чисел можно

к уменьшаемому при¬бавить число, противоположное вычитаемому.

15 - 3 = 15 + (- 3) = 12 .